数学パズル（覆面算）

今日は覆面算と呼ばれる、数学パズルの一例を取り上げます。高校入試にもよく出題されており、今回の記事の最後に、実際に入試で出題された問題をいくつかご紹介いたします。

SEND MORE MONEY（金をくれ）問題

【問題】次の筆算で、各文字には異なる０～９の数字が入ります。各文字に入る数字を解答しなさい。

$$
\begin{array}{rr}
& SEND\\
+\big{)}& MORE\\
\hline
&MONEY
\end{array}
$$

という問題です。ぜひ、一度自分で考えてみてください。

では、ここから解答です。

まず、この筆算は４桁＋４桁＝５桁の筆算です。よって、$$M \geq 1$$（≥は≧と同じ意味です。）また、仮に４桁すべての数字が９であったとしても、

$$
\begin{array}{rr}
& 9999\\
+\big{)}& 9999\\
\hline
&19998
\end{array}
$$

となります。上の例の場合、４桁すべて９に相当する同じ文字で表されている必要がありますが、実際にはそうではないので、$$ SEND < 9999, MORE < 9999 $$となります。いずれにしても、Mが２以上になることはあり得ません。したがって、$$ M = 1 $$

$$
\begin{array}{rr}
& SEND\\
+\big{)}& 1ORE\\
\hline
&1ONEY
\end{array}
$$

次に、SとOについて考えます。Sは１を加えて、あるいは、繰り上がってきた１をさらに加えて２桁になる数、よってSは８または９。ここで考えられる２桁の数は、$$ 8(S) + 1 + 1 = 10 \\ 9(S) + 1 = 10 \\ 9(S) + 1 + 1 = 11$$より、１０または１１ですが、１１ではMとOが同じ数になるので、１０しかありえません。 したがって、$$ O = 0 $$

$$
\begin{array}{rr}
& SEND\\
+\big{)}& 10RE\\
\hline
&10NEY
\end{array}
$$

次に、SとEですが、Eは０を加えてNと文字が変わっているので、前の位から繰り上がりを受けて、さらに１足されている必要があります。つまり、$$ E + 0(O) + 1 = N$$または$$ E + 0(O) + 1 = 10 + N$$となっている必要があります。２つ目の場合、１足されて１０以上となりますが、この場合、あてはまるEは９のみです。しかし、$$ 9(E) + 0(O) + 1 = 10 + 0(N) $$となり、NとOがどちらも０となるので、成り立ちません。

したがって、Eと０と１を足して、１０を超えることはないので、先ほどのSについては、前の位からの繰り上がり無しで、Sに１を加えるのみで２桁となる、$$ 9(S) + 1 = 10 $$の場合のみ成立することとなります。よって、$$ S = 9 $$また、$$ E + 1 = N $$

$$
\begin{array}{rr}
& 9END\\
+\big{)}& 10RE\\
\hline
&10NEY
\end{array}
$$

ここで、Eは０,１,9ではないから、$$ 2 \leq E \leq 8 $$N+Rは、２桁でなくてはならない、また前の位からの繰り上がりの可能性もあるから、$$ 11 \leq N+R \leq 18$$N,Rは８以下なので最大は７と８を選んだ場合の１５。したがって、$$ 11 \leq N+R \leq 15$$

①N＋Rが前の位から繰り上がりを受けない場合

$$ N+R = 10 + E$$また、前述の$$ E+1 = N $$より、$$ E+R+1 = 10 + E \\ （変形して）R = 9 $$ところが、SとRが同じ数になってしまうため、これは成り立ちません。

②N＋Rが前の位から繰り上がりを受ける場合

$$ N+R+1 = 10 + E$$また、前述の$$ E+1 = N $$より、$$ E+R+2 = 10 + E \\ （変形して）R = 8 $$したがって、$$ 11 \leq N+R \leq 15 \\ （すなわち）3 \leq N \leq 7 $$ Eに置き換えると、$$ 2 \leq E \leq 6 $$

$$
\begin{array}{rr}
& 9END\\
+\big{)}& 108E\\
\hline
&10NEY
\end{array}
$$

前述の通り、D+Eは２桁の数でなくてはなりません。

a) E=6の場合

D＋Eが２桁になるためには、Dは４，５，７のいずれかですが、４，５の場合、Yがそれぞれ、０，１となり、O，Sと同じ数となってしまうため、不適。よってD=7、Y=3。

b) E=5の場合

D＋Eが２桁になるためには、Dは６，７のいずれかです。６の場合、Yが１となり、Sと同じ数となってしまうため、不適。よってD=7、Y=２。

c) E=4の場合

D＋Eが２桁になるためには、Dは６，７のいずれかですが、それぞれYが０，１となり、O，Sと同じ数となってしまうため、不適。

d) E=3の場合

D＋Eが２桁になるためには、Dは７ですが、Yが０となり、Oと同じ数となってしまうため、不適。

e) E=2の場合

D＋Eが２桁になるためには、Dは８ですが、Rと同じ数となってしまうため、不適。

これらから、a)b)より、D=7。

$$
\begin{array}{rr}
& 9EN7\\
+\big{)}& 108E\\
\hline
&10NEY
\end{array}
$$

ここで、E+1＝Nなので、a) E=6の場合、実はNもDも７となり不適。したがって、成立するのは、b) E=5の場合のみとなります。

【解答】

$$
\begin{array}{rr}
& 9567\\
+\big{)}& 1085\\
\hline
&10652
\end{array}
$$

数学パズルは、与えられた条件を整理する→実験をする→法則・方針を見つける、という訓練になります。難関高校・大学入試などでよく出題される、難しい整数問題もこのスキルがあれば楽しんで解くことができるでしょう。

最後に、実際に高校入試で出題された問題を以下の通り紹介します。

【問題①】（日大日吉）

$$
\begin{array}{rr}
& A\\ & AA\\ & AAA\\ & AAAA\\ & AAAAA \\ & AAAAAA \\
+\big{)}& AAAAAAA\\
\hline
&ABCABCD
\end{array}
$$

【問題②】（甲陽学院）

$$
\begin{array}{rr}
& ABCD\\
\times \big{)}& 4\\
\hline
&DCBA
\end{array}
$$

【問題③】（名古屋）

$$
\begin{array}{rr}
& 1abcde\\
\times \big{)}& 3\\
\hline
&abcde1
\end{array}
$$

【問題④】（開成）

1）b≧4である理由を述べよ。2)a,b,cを求めよ。

$$
\begin{array}{rr}
& ab3\\
– \big{)}& 2ab\\
\hline
&bca
\end{array}
$$

【問題⑤】（2012算数オリンピック）

問題①～⑤の解答については、外部記事にて解説しています。

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