数学

中学の数学の難問の解き方、攻略法!高校入試の難問を正解して差をつけよう

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アザラシ塾管理人
中学時代は週7回の部活をこなしながら、定期テストでは480点以上で学年1位。模試でも全国1位を取り、最難関校に合格。 塾講師、家庭教師として中学生に正しい勉強法を教えることで成績アップに導いています。

中学の数学では難問が出題されることもあります。
特に灘、開成、筑駒などを筆頭とする最難関高の数学では塾の先生も解けないような問題が出ることもあるでしょう。

解答を見て理解はできても「こんな問題どうやって自分で解けばいいんだ」と、問題を解ける気がしないことも多いと思います。特に図形問題などでは難問が多いです。

そういった難問を確実に解いていくためには、ひらめきに頼るのではなくこれから私が教える考え方をする必要があります。

そこで今回は中学の数学の難問の解き方についてお教えします。

中学の数学の難問の解き方

解ける気がしないような難問を確実に解くための考え方は次の通りです。

  1. 基本問題やそこまで難しくない応用問題を完璧に解けるようにする。
  2. 問題に応じてどの解き方を使っていくのかを整理しておく
  3. 難問に対して、使う解法を順に考えていく

どういうことか分からないと思うので一つ一つ詳しく解説していきますね。

基本問題やそこまで難しくない応用問題(典型問題)を完璧にする

どんな難問でも基本問題やそこまで難しくない応用問題と同じ解法を使って解けます。

難しい理由は一見どの解法を使えばいいか分からなかったり、2つの解法を組み合わせたり、複雑になっていて整理してからでないといつもの解法を使えなかったりするからです。

なので難問を解くためには簡単な問題を解けるようにしておかないとダメなんです。

よくある例題(典型問題)などは問題を見てすぐに解けるようになるまで勉強しましょう。

一般的なレベルの問題集(最高難度の問題集ではない)の基本問題、発展問題は全て悩むことなく解けるようにしましょう。

問題に応じてどの解法を使うかを整理しておく

基本問題や応用問題を完璧にすると、解き方がいくつかのパターンに分かれることに気づくと思います。(気づくようになるまで勉強しなければいけません。)

因数分解や確率の問題などはいくつかの解法に分かれることが分かりやすいと思います。

1つの分野にいくつかの解法があることが分かり、それぞれの解法を完璧に使えるようになるまで勉強したら、次はそれらの解法を整理します。

整理するとは、”こんな問題、こんな状況ではこの解法を使う”ということを考えることです。覚えた解法を問題を見て、勘だけで解法を使っていくようではダメです。簡単な問題は解けるかもしれませんが、難問はそれでは解けません。

「こういったタイプの問題ではこの解法を使う」と自分の中でルールを決めましょう。

難問に対して解法を順に使っていく

解法を整理することまで出来たら次は難問を解く段階になります。

難問を解くうえで大切なのは覚えた解法を順番に使っていくということです

どんな難問でも基本的には既に使ったことのある解法で解けます。ということは難問でも全ての解法を使ってみれば解けるわけです。(解けはしなくても正解に近づくことはできる)

一つの解法だけを考えて上手く行かずに悩むのではなく、ダメそうだったら別の解法を使ってみましょう。どれかの解法で上手く行くはずです。

数学の難問を解くときの2つのコツ

解き方や勉強法に関しては話しましたが、次に実際に解いている際に意識してほしい2つのコツをお話しします。ただ漠然と解くのではなくこういったコツを抑えていると正答率は高くなります。

与えられた条件をすべて使う

基本的に数学の問題は無駄がないようにできています。そのため与えられた条件は全て使わないと正解にたどりつくことはできません。(たまーーに使わない条件を入れてくる出題者がいますが相当性格悪いと思います笑)

少し解けたけど、それ以上進めなくなってしまった時はもう一度問題文を読み直して与えられた条件を確認しましょう。まだ使ってない条件があったら「その条件はどこで使うのだろうか」と考えることで解答の糸口が開けます。

与えられた条件は全て使うはずだから、使ってない条件があったらよくわからないけど使ってみる。ちょっと姑息ですがこういった考えも大切です。

解く道筋をはっきりさせる

難問が解きにくい理由の一つに、問題が複雑で解いている間に混乱してしまうということがあります。綺麗に書かれた解答を見てみると案外簡単だったということもありますよね。

複雑な問題を確実に解くためには、問題を解く道筋をはっきりさせましょう。
行き当たりばったりで解いていては混乱してしまいます。

実際に解き始める前に、「こういった計算をしてここの長さを求めた後に相似を使う。」という風に道筋をはっきりさせてから解き始めるようにしましょう。

実際に計算を始める前に十分に時間を取って、解答の設計図を作りましょう。設計図さえできれば後は計算するだけなんで簡単です。

図形問題の解き方

中学の難問が多いのは図形問題です。そこで今の考え方も踏まえながら難しい図形問題に対するアプローチを紹介したいと思います。もちろん図形問題と言ってもいろんな種類があるので一概には言えませんが参考になれば幸いです。

図形問題を解くときに考えていることはこんなことです。

  1. 図形問題は相似、三平方の定理を使うことを考える。
  2. 円があるときには確実に円周角の定理や接線との関係を使う。
  3. 辺の比を求めるいくつかの公式は全て使えるようにする。(チェバ、メネラウス、三角形や平行線に関するもの)
  4. それでも上手く行かないときは補助線や円周角の定理の逆を考える。

数学の難問を解くうえで分かって欲しいこと

このように数学の難問を解き方のステップをお話ししましたが、難問を解くうえで1番大切なことは時間をかけすぎないことです。

1つの問題を解くのに時間をかけてしまって、他の簡単な問題にかけられる時間が少なくなってしまうことだけは避けなければいけません。

優先順位としては確実に点が取れる問題>>>>>難問です。他の問題でミスがないことを確認してから難問を解くようにしましょう。

難問はボーナス問題です。他の問題が確実に正解できているときに解けたらラッキーくらいの気持ちで解きましょう。

まとめ

今回は中学の数学の難問を解き方についてお話ししました。

数学の難問は本当に難しく、正答率が数パーセントになることもよくあります。そういった問題は得点しなくても大丈夫なのですが、差をつけたい人や数学でかなり良い点数を取らなければならない人もいるかと思います。

難問はこれまで解いたことのある問題の解法で解けます。そうでなければ誰も解けませんからね。難しい問題でも大切なのは基本の解法なんです。

たくさんの問題を解いて使いこなせる解法を増やしていくことが難問を解くための唯一の対策です。そのことを意識してこれからも勉強を頑張ってください。

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